Valor propi, vector propi i espai propi

Figura 1. Aquesta aplicació lineal deforma l'estàtua de David. Els vectors blaus tenen per a imatges els vectors verds. Conserven la mateixa direcció, per tant són vectors propis. El valor propi associat és -1/2 (perquè canvien de sentit i el mòdul és la meitat). En aquest cas particular l'espai propi és l'espai sencer.

En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix. Correspon a l'estudi dels eixos privilegiats, en els quals l'aplicació es comporta com una dilatació (o contracció si el mòdul del valor propi és més petit que 1), per tant, els vectors imatge en aquesta direcció corresponen als vectors origen multiplicats per una constant (si és negativa vol dir que canvien de sentit, però en cap cas no canvien de direcció). D'aquest factor que multiplica el vector origen per trobar el vector imatge se'n diu valor propi, el conjunt format per tots els vectors propis amb un mateix valor propi més el vector nul és un espai propi. Els gràfics de les figures 1 i 2 il·lustren aquestes nocions.

El coneixement dels vectors i valors propis ofereix una informació clau sobre l'aplicació lineal en qüestió. Existeixen a més nombrosos casos en què aquest coneixement caracteritza totalment l'aplicació lineal.

Aquest concepte originalment pertanyia a la branca de les matemàtiques anomenada àlgebra lineal. La seva utilització, tanmateix, avui en dia supera de lluny aquest marc. Intervé tant en matemàtiques pures com en matemàtiques aplicades. Apareix per exemple en geometria en l'estudi de les formes quadràtiques, o en anàlisi funcional. Permet resoldre problemes aplicats tan variats com el del moviment d'una corda vibrant, la classificació de les pàgines web per Google, la determinació de l'estructura de l'espaitemps en la teoria de la relativitat general, o l'estudi de l'equació de Schrödinger en mecànica quàntica.

A banda de la terminologia habitual de valors i vectors propis n'hi ha d'altres força esteses. Per exemple, hi ha qui parla d'autovalor, autovector i autoespai. Seguint la nomenclatura original de l'alemany, també es fa servir la denominació de eigenvalor, eigenvector i eigenespai, on la paraula eigen precisament significa "propi". Una altra variant usada en mecànica i enginyeria és la de valor i vector característic (per la relació amb el polinomi característic). Finalment, sí que és molt freqüent l'ús de les abreviatures vap i vep, fins al punt d'utilitzar-se com a paraules a l'hora de formar plural (vaps i veps).